Sinus und Kosinus - Mathepedia (2024)

Sinus und Kosinus - Mathepedia (1)

Graphen der Sinusfunktion (grün) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen sind 2π2 \pi 2π-periodisch und nehmen Werte von 1-11 bis 111 an.

Die Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind trigonometrische Funktionen. Sie werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen und in der Analysis benötigt.

Geometrische Definition

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur abhängig vom Maß der beiden spitzen Winkel. Da aber das Maß eines dieser Winkel das Maß des anderen Winkels bereits festlegt (die Winkelsumme der beiden spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck beträgt stets 90°90°90°), hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Sinus und Kosinus - Mathepedia (2)

Abb. FO99: Dreieck mit einem rechten Winkel in CCC. (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass α\alphaα der betrachtete Winkel ist.)

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

SinuseinesWinkels\text{Sinus eines Winkels}SinuseinesWinkels =GegenkathetedesWinkelsHypotenuse= \frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}=HypotenuseGegenkathetedesWinkels

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

KosinuseinesWinkels\text{Kosinus eines Winkels} KosinuseinesWinkels=AnkathetedesWinkelsHypotenuse= \frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}=HypotenuseAnkathetedesWinkels

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abb. FO99) gilt hier:

sin(α)=ac\sin (\alpha) = \frac{a}{c} \quadsin(α)=ca und cos(α)=bc\quad \cos (\alpha) = \frac{b}{c}cos(α)=cb.

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks bezeichnet, gelten die Ungleichungen sin(α)1\sin\left(\alpha\right)\leq 1sin(α)1 und cos(α)1\cos\left(\alpha\right)\leq 1cos(α)1.

Wird statt von α\alphaα von dem gegenüberliegenden Winkel β\betaβ ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α\alphaα wird zur Gegenkathete von β\betaβ und die Gegenkathete von α\alphaα bildet nun die Ankathete von β\betaβ und es gilt

sin(β)=bc\sin (\beta) = \frac{b}{c}\quadsin(β)=cb und cos(β)=ac\quad \cos (\beta) = \frac{a}{c}cos(β)=ca

Da im rechtwinkligen Dreieck α+β=90\alpha + \beta = 90^\circα+β=90 gilt, folgt

cos(α)=sin(90α)=sin(β)\cos (\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\beta)cos(α)=sin(90α)=sin(β)

und

sin(α)=cos(90α)=cos(β)\sin (\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)sin(α)=cos(90α)=cos(β).

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung ("trigonometrischer Pythagoras") ableiten:

Satz 5220B

sin2(α)+cos2(α)=1\sin^2 \left(\alpha\right) + \cos^2 \left(\alpha\right) = 1sin2(α)+cos2(α)=1.

Definition am Einheitskreis

Sinus und Kosinus - Mathepedia (3)

Definition am Einheitskreis.

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 000 bis 909090 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt PPP mit den Koordinaten (x,y)(x,y)(x,y) auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1. Der Ortsvektor von PPP schließt mit der xxx-Achse einen Winkel α\alphaα ein. Der Koordinatenursprung (0,0)(0,0)(0,0), der Punkt (x,0)(x,0)(x,0) auf der xxx-Achse und der Punkt P(x,y)P(x,y)P(x,y) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt x2+y2=1\sqrt{x^2+y^2}=1x2+y2=1. Die Ankathete des Winkels α\alphaα bezeichnet die Strecke zwischen (0,0)(0,0)(0,0) und (x,0)(x,0)(x,0) und hat die Länge xxx, es gilt also cos(α)=x\cos(\alpha)=xcos(α)=x. Die Gegenkathete des Winkels α\alphaα ist die Strecke zwischen (x,0)(x,0)(x,0) und (x,y)(x,y)(x,y) und hat die Länge yyy, es gilt also sin(α)=y\sin(\alpha)=ysin(α)=y.

Diese Definition lässt sich auf andere Quadranten fortsetzen: Die yyy-Koordinate eines Punktes des Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der xxx-Achse, während die xxx-Koordinate dem Kosinus des Winkels entspricht.

Analytische Definition

Definition durch Taylorreihen

Durch den Übergang vom Winkelmaß zum Bogenmaß können Sinus und Cosinus als Funktionen von R\RR nach R\RR erklärt werden. Die Taylorreihen stellen der Funktionen sin(x)\sin(x)sin(x) und cos(x)\cos(x)cos(x) sind:

sin(x)=n=0(1)nx2n+1(2n+1)!=x1!x33!+x55!\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsbsin(x)=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1=1!x3!x3+5!x5
cos(x)=n=0(1)nx2n(2n)!=x00!x22!+x44!\cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\dotsbcos(x)=n=0(1)n(2n)!x2n=0!x02!x2+4!x4

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen sin,cos ⁣:RR\sin, \cos\colon\R\to\Rsin,cos:RR, das für alle x,yRx,y\in\Rx,yR die Gleichungen

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) ⁣\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\!sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)

und

cos(x+y)=cos(x)cos(y)sin(x)sin(y) ⁣\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\!cos(x+y)=cos(x)cos(y)sin(x)sin(y)

erfüllt. Die Lösung sin\sin sin definiert dann den Sinus, die Lösung cos\cos cos den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen: sin(x) ⁣\sin(x)\!sin(x) ist eine ungerade Funktion, cos(x) ⁣\cos(x)\!cos(x) eine gerade Funktion, limx0sin(x)x=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1limx0xsin(x)=1 und cos(0)=1 ⁣\cos(0)=1\!cos(0)=1.

Produktentwicklung

sin(x)=xk=1(1x2k2π2) \sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right) sin(x)=xk=1(1k2π2x2)
cos(x)=k=1(14x2(2k1)2π2) \cos(x) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right) cos(x)=k=1(1(2k1)2π24x2)

x  x\;x ist dabei im Bogenmaß anzugeben.

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

sin(α)=cos(α+90)=cos(α90)\sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + 90^\circ \right)=\cos\left(\alpha-90^\circ\right)sin(α)=cos(α+90)=cos(α90) (Gradmaß)
sin(α)=cos(α+π/2)=cos(απ/2)\sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + \pi/2 \right)=\cos\left(\alpha - \pi/2\right)sin(α)=cos(α+π/2)=cos(απ/2) (Bogenmaß)

Insbesondere folgt daraus sinα1|{\sin\alpha}|\leq 1sinα1 und cosα1|{\cos\alpha}|\leq 1cosα1.

Wichtige Funktionswerte

Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode 2π2 \pi2π (entspricht im Gradmaß 360360^\circ360) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich [0,2π][0,2\pi][0,2π] (entspricht dem Bereich 00^\circ0 bis 360360^\circ360) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

sin(x)=sin(x+2kπ)undcos(x)=cos(x+2kπ)\sin(x) = \sin(x + 2k \pi)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + 2k \pi)sin(x)=sin(x+2kπ)undcos(x)=cos(x+2kπ)

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog

sin(x)=sin(x+k360)undcos(x)=cos(x+k360).\sin(x) = \sin(x + k \cdot 360^\circ)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + k \cdot 360^\circ)\,.sin(x)=sin(x+k360)undcos(x)=cos(x+k360).

Hierbei bezeichnet kZk \in \ZkZ eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigsten Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen auf. Weitere Funktionswerte können auf einer im Abschnitt Weblinks aufgeführten Seite gefunden werden.

Winkel α\alphaα (Grad) 00^\circ0 3030^\circ30 4545^\circ45 6060^\circ60 9090^\circ90 180180^\circ180 270270^\circ270 360360^\circ360
Bogenmaß 000 π6\frac{\pi}{6}6π π4\frac{\pi}{4}4π π3\frac{\pi}{3}3π π2\frac{\pi}{2}2π π\piπ 3π2\frac{3\pi}{2}23π 2π2\pi2π
Sinus 000 12\frac1221 122\frac12\sqrt2212 123\frac12\sqrt3213 1 11 0 00 1-11 000
Kosinus 1 11 123\frac12\sqrt3213 122\frac12\sqrt2212 12\frac1221 0 00 1-11 0 00 1 11

Zur Herleitung siehe Tabelle 7CGF.

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung ergibt sich

sin(18)=cos(72)=514\sin(18^\circ)=\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}sin(18)=cos(72)=451.

Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie beispielsweise die Seitenlänge eines regulären Fünfecks über

cos(54)=sin(218)=12552\cos(54^\circ)=\sin(2\cdot18^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}cos(54)=sin(218)=21255

und sin(15)\sin(15^\circ)sin(15), woraus folgt

32=cos(30)=cos2(15)sin2(15)=12sin2(15)\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30^\circ)=\cos^2(15^\circ)-\sin^2(15^\circ)=1-2\sin^2(15^\circ)23=cos(30)=cos2(15)sin2(15)=12sin2(15).

Aus sin(18)\sin(18^\circ)sin(18) und sin(15)\sin(15^\circ)sin(15) lassen sich dann z. B. sin(3)\sin(3^\circ)sin(3) und dann rekursiv auch alle sin(k3)\sin(k \cdot 3^\circ)sin(k3), kZ  k\in\Z\;kZ ermitteln.

Generell gilt, dass sinα  \sin\alpha\;sinα und cosα  \cos\alpha\;cosα genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel α  \alpha\;α mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn α  \alpha\;α von der Gestalt

α=k3602np1pr\alpha=k\frac{360^\circ}{2^np_1\dots p_r}α=k2np1pr360

ist, wobei kZ  k\in\Z\;kZ, nN0  n\in\N_0\;nN0 und die pi  p_i\;pi für i=1,,r  i=1,\dots,r\;i=1,,r Fermatsche Primzahlen sind.In obigem Beispiel von α=3\alpha=3^\circα=3 ist k=1  k=1\;k=1 und der Nenner gleich 120=2335.120=2^3\cdot 3\cdot 5.120=2335.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktionen

arcsin ⁣:[1,1][90,90]arccos ⁣:[1,1][0,180]\begin{array}{cl} \text{arcsin} \colon [-1,1] &\to [-90^\circ, 90^\circ] \\ \text{arccos}\colon [-1,1] &\to [0^\circ, 180^\circ] \end{array}arcsin:[1,1]arccos:[1,1][90,90][0,180]

werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt.

Ableitung und Integration von Sinus und Kosinus

Ableitung

Wird x  x\;x im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion

sin(x)=cos(x)\sin^\prime(x) = \cos(x)sin(x)=cos(x)

Aus cos(x)=sin(π2x)\cos(x)=\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)cos(x)=sin(2πx) und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

cos(x)=sin(x)\cos^\prime(x) = -\sin(x)cos(x)=sin(x).

Stammfunktion

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:

sin(x)dx=cos(x)+C\int\sin(x)\,\mathrm{d}x=-\cos(x)+Csin(x)dx=cos(x)+C
cos(x)dx=sin(x)+C\int\cos(x)\,\mathrm{d}x=\sin(x)+Ccos(x)dx=sin(x)+C

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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