Graphen der Sinusfunktion (grün) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen sind 2π-periodisch und nehmen Werte von −1 bis 1 an.
Die Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind trigonometrische Funktionen. Sie werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen und in der Analysis benötigt.
Geometrische Definition
Definition am rechtwinkligen Dreieck
Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur abhängig vom Maß der beiden spitzen Winkel. Da aber das Maß eines dieser Winkel das Maß des anderen Winkels bereits festlegt (die Winkelsumme der beiden spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck beträgt stets 90°), hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.
Abb. FO99: Dreieck mit einem rechten Winkel in C. (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass α der betrachtete Winkel ist.)
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).
- SinuseinesWinkels =HypotenuseGegenkathetedesWinkels
Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.
- KosinuseinesWinkels=HypotenuseAnkathetedesWinkels
Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abb. FO99) gilt hier:
- sin(α)=ca und cos(α)=cb.
Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks bezeichnet, gelten die Ungleichungen sin(α)≤1 und cos(α)≤1.
Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β und die Gegenkathete von α bildet nun die Ankathete von β und es gilt
- sin(β)=cb und cos(β)=ca
Da im rechtwinkligen Dreieck α+β=90∘ gilt, folgt
- cos(α)=sin(90∘−α)=sin(β)
und
- sin(α)=cos(90∘−α)=cos(β).
Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung ("trigonometrischer Pythagoras") ableiten:
Satz 5220B
- sin2(α)+cos2(α)=1.
Definition am Einheitskreis
Definition am Einheitskreis.
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt P mit den Koordinaten (x,y) auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt x2+y2=1. Der Ortsvektor von P schließt mit der x-Achse einen Winkel α ein. Der Koordinatenursprung (0,0), der Punkt (x,0) auf der x-Achse und der Punkt P(x,y) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt x2+y2=1. Die Ankathete des Winkels α bezeichnet die Strecke zwischen (0,0) und (x,0) und hat die Länge x, es gilt also cos(α)=x. Die Gegenkathete des Winkels α ist die Strecke zwischen (x,0) und (x,y) und hat die Länge y, es gilt also sin(α)=y.
Diese Definition lässt sich auf andere Quadranten fortsetzen: Die y-Koordinate eines Punktes des Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der x-Achse, während die x-Koordinate dem Kosinus des Winkels entspricht.
Analytische Definition
Definition durch Taylorreihen
Durch den Übergang vom Winkelmaß zum Bogenmaß können Sinus und Cosinus als Funktionen von R nach R erklärt werden. Die Taylorreihen stellen der Funktionen sin(x) und cos(x) sind:
- sin(x)=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=1!x−3!x3+5!x5∓⋯
- cos(x)=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n=0!x0−2!x2+4!x4∓⋯
Definition als Lösung einer Funktionalgleichung
Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen sin,cos:R→R, das für alle x,y∈R die Gleichungen
- sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
und
- cos(x+y)=cos(x)cos(y)−sin(x)sin(y)
erfüllt. Die Lösung sin definiert dann den Sinus, die Lösung cos den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen: sin(x) ist eine ungerade Funktion, cos(x) eine gerade Funktion, limx→0xsin(x)=1 und cos(0)=1.
Produktentwicklung
- sin(x)=x∏k=1∞(1−k2π2x2)
- cos(x)=∏k=1∞(1−(2k−1)2π24x2)
x ist dabei im Bogenmaß anzugeben.
Wertebereich und spezielle Funktionswerte
Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus
- sin(α)=−cos(α+90∘)=cos(α−90∘) (Gradmaß)
- sin(α)=−cos(α+π/2)=cos(α−π/2) (Bogenmaß)
Insbesondere folgt daraus ∣sinα∣≤1 und ∣cosα∣≤1.
Wichtige Funktionswerte
Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode 2π (entspricht im Gradmaß 360∘) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich [0,2π] (entspricht dem Bereich 0∘ bis 360∘) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang
- sin(x)=sin(x+2kπ)undcos(x)=cos(x+2kπ)
bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog
- sin(x)=sin(x+k⋅360∘)undcos(x)=cos(x+k⋅360∘).
Hierbei bezeichnet k∈Z eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigsten Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen auf. Weitere Funktionswerte können auf einer im Abschnitt Weblinks aufgeführten Seite gefunden werden.
Winkel α (Grad) | 0∘ | 30∘ | 45∘ | 60∘ | 90∘ | 180∘ | 270∘ | 360∘ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Bogenmaß | 0 | 6π | 4π | 3π | 2π | π | 23π | 2π |
Sinus | 0 | 21 | 212 | 213 | 1 | 0 | −1 | 0 |
Kosinus | 1 | 213 | 212 | 21 | 0 | −1 | 0 | 1 |
Zur Herleitung siehe Tabelle 7CGF.
Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte
Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung ergibt sich
- sin(18∘)=cos(72∘)=45−1.
Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie beispielsweise die Seitenlänge eines regulären Fünfecks über
- cos(54∘)=sin(2⋅18∘)=2125−5
und sin(15∘), woraus folgt
- 23=cos(30∘)=cos2(15∘)−sin2(15∘)=1−2sin2(15∘).
Aus sin(18∘) und sin(15∘) lassen sich dann z. B. sin(3∘) und dann rekursiv auch alle sin(k⋅3∘), k∈Z ermitteln.
Generell gilt, dass sinα und cosα genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel α mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn α von der Gestalt
- α=k2np1…pr360∘
ist, wobei k∈Z, n∈N0 und die pi für i=1,…,r Fermatsche Primzahlen sind.In obigem Beispiel von α=3∘ ist k=1 und der Nenner gleich 120=23⋅3⋅5.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktionen
- arcsin:[−1,1]arccos:[−1,1]→[−90∘,90∘]→[0∘,180∘]
werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt.
Ableitung und Integration von Sinus und Kosinus
Ableitung
Wird x im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion
- sin′(x)=cos(x)
Aus cos(x)=sin(2π−x) und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:
- cos′(x)=−sin(x).
Stammfunktion
Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus im Bogenmaß:
- ∫sin(x)dx=−cos(x)+C
- ∫cos(x)dx=sin(x)+C
Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.
Hermann Weyl
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